Excelで行列計算！連立方程式をつるかめ算から3変数まで一瞬で解く技

数学・アルゴリズム実験室

2026.02.07

目次

はじめに：Excelは「表計算ソフト」であり「行列計算機」である
1. 行列計算ができると何が嬉しいの？
数学の時間：なぜExcelで行列を解くのか？
問題1：チケットの売上枚数（基本）
1. 考え方と数式
問題2：直線の式を求める（幾何学）
1. 考え方と数式
2. 【別解】統計関数 LINEST を使う
問題3：原価と定価（割合の計算）
1. 考え方と数式
問題4：道のりと時間（単位変換の応用）
1. 考え方と数式
問題5：和差算（シンプルイズベスト）
1. 考え方と数式
2. 【別解】行列を使わない方法
問題6：3変数の連立方程式（ラスボス）
1. 考え方と数式
まとめ：数学の力でExcelを使いこなせ！

はじめに：Excelは「表計算ソフト」であり「行列計算機」である

皆さん、中学や高校の数学の授業を思い出してください。

こんな問題に頭を抱えたことはありませんか？

「鶴と亀が合わせて10匹います。足の数は合わせて28本です。鶴と亀は何匹？」

いわゆる「つるかめ算」、数学的に言えば「連立方程式」ですね。

変数が2つ（ $x, y$ ）ならまだしも、3つ（ $x, y, z$ ）になると、

手計算では計算ミスが多発して絶望的な気分になります。

しかし、Excelには「行列（Matrix）」を扱うための強力な関数が備わっています。

これを使えば、変数が2つだろうが、10個だろうが、たとえ100個あろうとも、

一瞬で答えを導き出すことができます。

Excelはただの表計算ソフトではなく、超高性能な「連立方程式・自動解答マシーン」なのです。

本記事では、無料のWeb版Excelを使用して検証および画像の作成を行っています。Windowsはもちろん、MacやLinuxの方もブラウザさえあれば挑戦できます！

※連立方程式については、以下の記事で様々な解法を紹介しています！

行列計算ができると何が嬉しいの？

「数学なんて実務で使わないよ」と思うかもしれませんが、この知識があると以下のような場面で役立ちます。

損益分岐点の分析： 複数の製品のコストと利益のバランスを計算する。
配合の最適化： 複数の原料を混ぜて、目標の成分値にするための比率を出す。
データ補間： 点と点の間を埋める直線の式を求める。

今回は、MMULT（行列の積）と MINVERSE（逆行列）という2つの関数を使って、日常にありそうな6つの問題を鮮やかに解いてみせます。

関数の詳細な仕様については、Microsoft公式のヘルプも参考にしてください。

数学の時間：なぜExcelで行列を解くのか？

まずは少しだけ、数学の話にお付き合いください。

連立方程式を行列で表すと、以下のようになります。

$A \times X = B$

A：係数行列（左辺の数字の塊）
X：変数行列（求めたい $x$ や $y$ ）
B：定数行列（右辺の答え）

ここから X（答え） を求めたい場合、どうすればいいでしょうか？

普通の数式なら「Aで割る（ $B \div A$ ）」ところですが、残念ながら行列の世界に「割り算」はありません。

その代わり、「逆行列（ $A^{-1}$ ）」というものを掛けます。

イメージとしては、「逆数を掛ける（ $\times \frac{1}{A}$ ）」のと似ています。

$A^{-1} \times A \times X = A^{-1} \times B \\ X = A^{-1} \times B$

つまり、「係数の逆行列」と「答え」を掛け算すれば、一発で変数が求まるのです。

これをExcel関数に翻訳すると、こうなります。

=MMULT( MINVERSE(係数行列), 答え行列 )

この魔法の数式を使って、次々と問題を解いていきましょう！

問題1：チケットの売上枚数（基本）

【問題】
前売り券（2,000円）と当日券（3,000円）を合わせて50枚販売し、売上は115,000円でした。
それぞれ何枚売れたでしょうか？

考え方と数式

はじめに、前売り券を $x$ 、当日券を $y$ として式を立てます。

$x + y = 50$ （枚数）
$2000x + 3000y = 115000$ （金額）

これをExcelの行列数式に当てはめます。

=MMULT(MINVERSE({1,1;2000,3000}),{50;115000})

【解説】
1. {1,1;2000,3000}：これが係数行列Aです。セミコロン(;)で行を変えています。

Excelの説明画像

2. MINVERSE(...)：この関数の逆行列（ $A^{-1}$ ）を計算します。これぞExcelの力！

Excelの説明画像

3. {50;115000}：これが答え行列Bです。

4. MMULT(...)：逆行列と答え行列を掛け合わせ、最終的な解（ $x, y$ ）を算出します。

Excelの説明画像

答え：前売り券 35枚、当日券 15枚

【実務でのポイント】
記事では分かりやすく数値を直接入力していますが、実務ではセル範囲（A1:B2など）を選択して計算できます。
係数や答えをセルに入力しておけば、あとは数字を書き換えるだけで、あらゆる問題を解ける「万能計算機」になります！

問題2：直線の式を求める（幾何学）

【問題】
座標 $(2, 7)$ と $(-1, 1)$ の2点を通る直線の式 $y = ax + b$ の傾き $a$ と切片 $b$ を求めよ。

懐かしいですね！中学数学でやった一次関数です。

Excelの説明画像

考え方と数式

連立方程式を立てます。

$2a + b = 7$ （ $x=2$ のとき $y=7$ ）
$-a + b = 1$ （ $x=-1$ のとき $y=1$ ）

=MMULT(MINVERSE({2,1;-1,1}),{7;1})

Excelの説明画像

答え：傾き(a) = 2、切片(b) = 3

【エラーになるケース】
もし2点のx座標が同じ（例：(2, 7)と(2, 5)など）場合、直線は垂直になり「傾き」が無限大になります。
この時、行列の世界では「逆行列が存在しない（割り算で言うところの0除算）」状態となり、#NUM! エラーになります。

【別解】統計関数 LINEST を使う

実は、この手の問題は統計用の LINEST 関数でも解けます。

=TRANSPOSE(LINEST({7,1},{2,-1}))

解説：
LINESTは「最小二乗法」を使って、点に最もフィットする直線を求める関数です。

点が2つだけなら、完璧にその2点を通る直線の解と一致します。

ただし、LINESTは結果を「横方向」に返します。

行列計算の結果（縦方向）と合わせるために TRANSPOSE で縦横を変換しています。

Excelの説明画像

問題3：原価と定価（割合の計算）

【問題】
定価は原価の1.5倍です。
定価の7割で売ると、原価より840円多く残ります。
原価と定価はいくら？

考え方と数式

続いて、定価を $P$ 、原価を $C$ とします。
式を整理して、「 $\dots = \text{数字}$ 」の形にするのがコツです。

$P = 1.5C$
$\rightarrow$ $P - 1.5C = 0$
$0.7P = C + 840$
$\rightarrow$ $0.7P - C = 840$

=MMULT(MINVERSE({1,-1.5;0.7,-1}),{0;840})

Excelの説明画像

答え：定価 25,200円、原価 16,800円

問題4：道のりと時間（単位変換の応用）

【問題】
目的地まで、時速50kmの高速道路で行くのと、時速35kmの一般道で行くのでは、到着時間に18分の差が出ます。
高速道路を使った場合の所要時間（分）と目的地までの距離(km)は？

考え方と数式

ここが一番の難所です！「分」と「時速」が混ざっているので、単位を合わせる必要があります。

距離を $d$ (km)、高速の時間を $t$ (時間) とします。

$d = 50t$
$\rightarrow$ $50t - d = 0$
一般道の時間は、高速より18分（18/60時間）多いので、
$d = 35(t + \frac{18}{60})$
$\rightarrow$ $35t - d = -35 \times \frac{18}{60}$

この連立方程式を解き、最後に時間を「分」に戻すために60倍します。

=MMULT(MINVERSE({50,-1;35,-1}),{0;-1}*(35*18/60))*{60;1}

【解説】
・{0;-1}*(35*18/60)：右辺の行列を作っています。2つ目の式がマイナスになるため、ベクトル {0; -1} に値を掛けて表現しています。

Excelの説明画像

・*{60;1}：出てきた答えは「時間(h)」と「距離(km)」です。求めたいのは「分」なので、上の段（時間）だけ60倍しています。

Excelの説明画像

答え：所要時間 42分、距離 35km

問題5：和差算（シンプルイズベスト）

【問題】
男女合わせて38名のチーム。男性は女性より6名多いです。
それぞれの人数は？

考え方と数式

$M + F = 38$
$M - F = 6$

行列で解くならこうです。

=MMULT(MINVERSE({1,1;1,-1}),{38;6})

Excelの説明画像

【別解】行列を使わない方法

実はこの程度の問題なら、算数のテクニック（和差算）を使ったほうが早いです。

=(38+6*{1;-1})/2

解説：
「(合計 + 差) ÷ 2」で大きい方の数（男性）が、「(合計 – 差) ÷ 2」で小さい方の数（女性）が出ます。

6*{1;-1} で {6; -6} を作り、プラスの場合とマイナスの場合を一気に計算しています。

Excelの説明画像

答え：男性 22名、女性 16名

問題6：3変数の連立方程式（ラスボス）

【問題】
ある文房具店のセット価格です。ペン・ノート・消しゴムの単価を求めてください。
セットA（ペンx3、ノートx2、消しゴムx1）＝ 850円
セットB（ペンx1、ノートx3、消しゴムx2）＝ 900円
セットC（ペンx2、ノートx1、消しゴムx3）＝ 710円

最後に、変数が3つ（ $x, y, z$ ）になったラスボスの登場です。

これを手計算で解こうとすると、「①と②から $x$ を消して、②と③からも $x$ を消して…」と、計算用紙が真っ黒になります。絶対にやりたくないですね！

しかし、Excelの行列計算なら、変数が2つでも3つでもやることは同じです。

考え方と数式

=MMULT(MINVERSE({3,2,1;1,3,2;2,1,3}), {850;900;710})

【解説】
係数行列が 3×3 になり、答え行列が 3行になっただけです。

{3,2,1; 1,3,2; 2,1,3} と入力するだけで、Excelが裏側で複雑な「掃き出し法」等の計算を一瞬で終わらせてくれます。

Excelの説明画像

答え：ペン 120円、ノート 200円、消しゴム 90円

まとめ：数学の力でExcelを使いこなせ！

「行列」と聞くと難しそうに感じますが、Excelにおいては、

「複数の条件式を一発で解くための魔法のツール」です。

すなわち、MMULT と MINVERSE のコンビネーションを覚えておけば、ビジネスで複雑なクロス計算やシミュレーションが必要になった時、きっと強力な武器になるはずです。

ぜひ、身の回りの問題を「行列」に置き換えて、Excelに解かせてみてください！

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