Excelあみだくじの法則を遊びながら発見!

Excelあみだくじの法則を遊びながら発見! Excel

Excelで遊んでいる皆さん、こんにちは!

今回も、ちょっと変わったExcelの「暇つぶし」に挑戦してみませんか?

今回のテーマは、皆さんおなじみ「あみだくじ」です。
ただ、いつものあみだくじとは少し違います。

一番上に、左から順に 1、2、3、……、10 と数字が並んでいます。

そして、一番下には、なぜか順番が逆になった 10、9、8、……、1 と数字が並んでいます。

あみだくじの説明画像

さて、ここで問題です!

この上と下の数字を、あみだくじの「横線」を使って、
正しいもの同士(上の1と下の1、上の2と下の2のように)でつなぎたいのです。

あなたなら、どこに線を引きますか?

線を引けるのは、縦線と縦線の間だけです。

そこに「横線」を自由に引いてみましょう。

ぜひ、Excelを開いて、試しに数字を並べて手を動かしてみてください。

線を引く代わりにセルの色を変えたり図形を置いたりして、
ちょこっと作業してみるのも面白いかもしれませんよ?

さあ、一緒に頭の体操を始めましょう!

はじまり!今回のミッション!

今回のミッションはとてもシンプルです。

Excelシート上で、1から10まで順に並んだ数字があります。
これを、見た目としての横線を引くことで、逆順10から1までにつなげることです。

これは、見た目はあみだくじですが、実はある「並べ替え」をシミュレーションしています。

どんな線を引けば、上の数字下の逆順の数字が正しくつながるのか?

ぜひ、あなたの手で挑戦してみてください!

ステップ1:まずは自由に線を引いて遊んでみよう!

小さな数で試す

よし、やってやるぞ!」と思って、いきなり1から10まで並べて考えると、
少し大変かもしれませんね。

まず、もっと少ない数で試してみるのはどうでしょう?

たとえば、1、2、3 と並んでいて、下は 3、2、1 にしたい場合です。

1から3のあみだくじの説明

あるいは、1、2、3、4、5 で、下は 5、4、3、2、1 にしたい場合です。

1から5のあみだくじ

Excelで試してみたい!

という方のために、簡単なサンプルファイルをご用意しました!
excel_de_himatsubushi021.xlsx (15KB)

自由に試行錯誤

縦に並んだ数字の隣に、自由に横線を引いてみてください。

セルの色を変えるとか、罫線を引くとか、やりやすい方法でOK!

そして、一番上の数字からスタートして、引いた線を通って下までたどり着くと、
どの数字にたどり着くか?

これを追ってみましょう。

線を足してみたり、消してみたり…。

「あれ?思っていたのと違う…」
「うーん、あと少しでつながるんだけどなぁ」

なんて試行錯誤を繰り返すのが、この段階の楽しいところです!

正解をすぐに求めず、まずは自由に、
好きな場所に線を引いて遊んでみてくださいね(笑)

まるで迷路を進むみたいで、
意外と時間が経つのを忘れちゃうかもしれません。

ステップ2:あれ?これって法則があるのかも?

試行錯誤の後に生まれる疑問

自由に線を引いて遊んでいたら、もしかしたらこう思い始めた方もいるかもしれません。

「なんとなく線を引いていたけど、これって何か法則があるのかな?」
「やみくもに線を引くより、何か考え方があるのかも…?」

そうなんです!

実はこのあみだくじ、ただの遊びではないのです。

線を引くことで、数字の「順番」を入れ替えていますよね。

隣同士の「swap」に注目!

ここで少しだけヒントです!

線を1本引くと、その線の左右にある縦線の経路が入れ替わり
結果として下の出口の数字が入れ替わったようになるイメージ、分かりますか?

たとえば、1 | 2 | 3 と並んでいて、12の間の縦線に横線を1本引くと…。

経路が入れ替わる様子

たとえば、一番上の1からスタートして線を通ると、
本来たどるはずだった1の縦線から2の縦線に移動し
2からスタートした場合は1の縦線に移動します

こうして、線を通ることで隣り合った縦線の経路が入れ替わり、結果としてたどり着く出口が入れ替わったように見えます

そう!

まるで、隣同士の数字を「swap(スワップ)」しているような動きになるのです。

もしかして、この「隣同士のswap」を繰り返せば、どんな順番でも作れる…?

そして、今回の目標である「完全逆順」も、このswapの組み合わせでできる…?

頭の中で、あるいはExcelシートの上で、この「swap」の動きをイメージしてみてください。

swapのイメージ

なんとなく見えてきたかもしれません。

しかし、まだ答えは言いませんよ!(笑)

ステップ3:みんなの「できた!」を見てみよう

色々な「できた!」例

試行錯誤の末、「できた!」という方もいると思います。

線をたくさん引いた!
という方もいれば、
意外と少なくできた!

という方もいるかもしれませんね。

たとえば、このように線が多く引かれていると…

線が多いバージョン

上の1は下の10へ、上の2は下の9へ…という具合に、きちんと逆順につながっています。

逆に、このように線が少なめに「できた!」という例もあります。

最小の本数で完成したあみだくじ

こちらも、きちんと逆順につながっていますね!

自分のやり方と比較してみよう

自分の考えた線の引き方と比べてみてどうでしょう?

「あ!このようにすればもっとシンプルになるのか!」とか、
「私のやり方、意外と効率悪かったかも?」

なんて、新しい発見があるかもしれません。

でも、大丈夫です!

この段階では、どのような線の引き方でも「できた!」ことが素晴らしいのです。

みんなで一緒に、それぞれのやり方を「振り返る」くらいの優しい気持ちで見てみましょうね。

ステップ4:最低、何本必要なの?完全逆順に必要な本数は?

さて、色々な線の引き方で「完全逆順」が実現できることが分かりました。

ここで、もう一つ大きな問いを投げかけてみましょう!

私たちが目指す「1, 2, …, 10」から「10, 9, …, 1」への完全逆順。

この並べ替えを実現するために必要な「横線の数」、つまり「swapの回数」、
最低何本だと思いますか?

「え?まだ線減らせるの?」
「自分が引いた線、もっと少なくできるの!?」

そう思ったあなた!

きっともう一度、Excelシートを見直したくなってきたのではないでしょうか?(笑)

ここから先は、「最低限の本数」を探る旅です。

どのようにすれば無駄なく、効率的にswapを繰り返せるのか?

一緒にその謎に迫ってみましょう!

ステップ5:小さな数字で「なぜ?」を解き明かそう!

法則を見つけるための実験

最低本数を見つけるために、また小さい数で考えてみるのが近道です。

たとえば、1、2、33、2、1 にする場合です。

法則を見つけるための実験画像

隣同士のswapで考えましょう。

隣同士のswapで考える

ここでは、理解を深めるために、横線を引く操作を「隣り合った数字(の経路)を入れ替える操作」として捉えてみましょう

これは、コンピュータの世界の並べ替えで使われる「隣接する要素の交換(swap)」に相当します。

完全逆順にするには、どのようにswapしていけば効率が良いでしょうか?

nの場合の手順:n=3

まず、3一番左に持ってくるために、1 | 2 | 3 から始めます。

まず、2と3の間でswapして、1 | 3 | 2 とします。

2と3の間でswap

次に13の間でswapして、3 | 1 | 2 とします。

1と3の間でswap

これで3一番左、定位置に来ました。

続いて、残った 12 を入れ替えます。

これで完成です!

12の間でswapして、3 | 2 | 1 とします。

完成図

必要なswapは、最初の段階で2回、次の段階で1回の、合計3回です。

nの場合の手順:n=4

次に、1、2、3、44、3、2、1 にする場合を考えます。

まず、右端の4を一番左に持ってくるために、(4-1) = 3回swapが必要です。

はじめに、34の間でswapします。

nの場合の手順:n=4

次に24の間でswapします。

最後に14の間でswapします。

これで4一番左に来ました。

続いて、残った 3、2、1 の中で、3一番左(全体の2番目)に持ってくるのに、(3-1) = 2回swapが必要です。

まず23の間でswapします。
次に13の間でswapします。

これで3は定位置に来ました。

次に残った 2、1 の中で、2一番左(全体の3番目)に持ってくるのに、(2-1) = 1回swapが必要です。

12の間でswapします。

最後に残った1は自然と定位置につきました。

合計で、3 + 2 + 1 = 6回swapが必要になります。

解説:必要なswap回数のパターン

右端から順番にswap

なるほど!
だんだん法則が見えてきましたね!

完全逆順にするには、右端から順番に数字を、
その場所に来るまでに必要な回数だけ隣とswapしていくイメージです。

右端の数字を一番左に動かすのに (n-1) 回です。

必要な回数だけ隣とswap

その次に右端だった数字を2番目に動かすのに (n-2) 回です。

…という具合にswapを繰り返します。

swap回数の合計パターン

必要なswapの合計回数は、以下の計算で求められます。

(n-1) + (n-2) + …… + 1

これは、1から(n-1)までの数字をすべて足し合わせた数ですね。

この合計は、数学の世界では有名な公式 n × (n-1) / 2 で求めることができます。

ステップ6:あみだくじは「ソート」だった!?法則を一般化!

法則を一般化する

小さな数字での実験から見えてきた法則を、いよいよ一般化してみましょう。

最低swap回数の公式

n個の数字を完全逆順に並べ替えるために必要な最低swap回数は、

公式: n × (n-1) / 2 で求めることができます。

つまり、今回の 1から10までの数字 (n=10) を完全逆順にするのに必要な最低swap回数は…

10 × (101) / 2 = 10 × 9 / 2 = 90 / 2 = 45回

そう!

最低でも 45本の横線 が必要なんです!

最低でも 45本の横線 が必要

解説:あみだくじとソートの関係

あみだくじはswapの可視化

どうでしょう?
予想より多かったですか?
少なかったですか?

単純なあみだくじ遊びだと思っていたら、実はその裏で、数字の並び替え(コンピュータの世界では「ソート」と呼ばれます)の基本原理である「バブルソート」のような動きが隠れていたのです!

あみだくじで線を引く行為は、まさにこの「隣同士のswap」を可視化している、
と言えるかもしれませんね。

他の並べ替えの場合

他の並べ替え(たとえば、1, 3, 2, 4 など)でも、必要なswap回数は変わってきます。

興味があれば、ぜひ他のパターンでも考えてみてください!

まとめ:線を引く遊びの奥に、考える楽しさがあった!

記事の振り返り

今回は、あみだくじを使って数字の順番を入れ替える遊びを通して、
その裏に隠された論理数学に触れてみました。

好きな場所に線を引く、という単純な遊びから始まりましたが、
さまざまな疑問が生まれたはずです。

どのようにすれば目的の並べ替えができるかな?
もっと効率的なやり方があるかな?
最低何回swapすればできるのだろう?

あれ?
小さい数で試すと何か法則が見えるぞ?

ということは、

大きい数でも同じ法則が使えるはずだ!

n = 100のときは 4950本必要ですね!)

考える楽しさを見つけよう

なぜ?」という疑問が生まれ、それを試行錯誤しながら解き明かしていく過程が、
何よりも楽しかったのではないでしょうか。

Excelは、ただ計算したり表を作ったりするだけでなく、
今回のようにちょっとした「遊び場」として、

論理的に考えたり、法則を見つけたりするためのツールにもなるのです。

ぜひ、今回の「あみだくじ順序入れ替え」を応用して、
別の数字の並べ替えで遊んでみてください。

必要な横線の数はいくつになるかな?
どのように線を引けば最短でできるかな?

新しい発見が、きっとあるはずです!

これからも、Excelを使った楽しい「暇つぶし」を見つけて、一緒に探求していきましょう!

また次回の暇つぶしでお会いしましょう!

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