はじめに：懐かしの「連立方程式」、Excelなら一瞬です。
皆さん、中学校の数学の時間を思い出してください。
りんごを3つとみかんを2つ買うと、760円でした。
りんごを5つとみかんを3つ買うと、1240円でした。
りんごとみかん、それぞれ1ついくらでしょうか？
「うっ…頭が痛い…」と思った方もご安心ください！
自分の頭で計算する必要はありません。
この「連立方程式」こそ、Excelが最も得意とする分野の一つなのです。
本記事では、無料のWeb版Excelを使用して検証および画像の作成を行っています。Windowsはもちろん、MacやLinuxの方もブラウザさえあれば挑戦できます！
なぜ、いま連立方程式なのか？
「りんごの値段なんて知らなくていいよ」と思うかもしれません。
でも、この考え方はビジネスのあらゆる場面で使えます。
- 原価計算： 製品Aと製品Bの製造にかかった総コストから、部品単価を割り出す。
- 人員配置： チームごとの成果と人数から、1人あたりの生産性を分析する。
- 鶴亀算（つるかめざん）： 足の数の合計から、ツルとカメが何匹いるか計算する（これは趣味ですね笑）。
複数の条件が絡み合う問題をスパッと解決する。それが連立方程式の力です。
今回は、この問題を5つの異なるアプローチで解いてみましょう！
ステップ1：冒険の準備 – 情報を整理する
まずは、問題をExcelに入力しやすい形（行列）に整理します。
A1セルを起点に、以下の表を作成してください。
={"りんご","みかん","金額";3,2,760;5,3,1240}
【表の見かた（横方向に見ます）】
・2行目： りんご3個 ＋ みかん2個 ＝ 760円
・3行目： りんご5個 ＋ みかん3個 ＝ 1240円
そして、答えを表示する場所を用意しましょう。
B5セルに「りんご」、B6セルに「みかん」と入力してください。
C5セルとC6セルに、これから紹介する数式を入れていきます。
5つの解法で、価格を暴き出せ！
1. 中学校で習った方法（クラメルの公式）
考えかた
まずは、数学の教科書通りの解き方をそのままExcelの数式にします。
「
（りんご）を消して 
（みかん）を求める公式」を当てはめる方法です。
数式
C5セル（りんご）：=(C2*B3-C3*B2)/(A2*B3-A3*B2)
C6セル（みかん）：=(C2-A2*((C2*B3-C3*B2)/(A2*B3-A3*B2)))/B2
この数式、実は「クラメルの公式」と呼ばれる、連立方程式の解の公式を手動で展開したものです。
解説
りんごの単価を 、みかんの単価を とすると、以下のような式になります。
これを解く公式は、次のようになります。
Excelの数式を見てみてください。
(C2*B3-C3*B2) が分子の 
、(A2*B3-A3*B2) が分母の 
に対応しているのが分かりますか？
「クロスして掛けて引く」という計算をしていますね！
2. MDETERM関数 – 行列式の利用
考えかた
アプローチ1の「クロスして掛けて引く （）」という計算、実は専用の関数があります。
数式
C5セル（りんご）：=MDETERM(CHOOSE({1,2},C2:C3,B2:B3))/MDETERM(A2:B3)
C6セル（みかん）：=MDETERM(CHOOSE({1,2},A2:A3,C2:C3))/MDETERM(A2:B3)
解説
・MDETERM(配列): 正方行列の「行列式（Determinant）」を返す関数です。
行列式とは、行列の特徴を表す数値のことです。
2×2の行列 
の場合、行列式は になります。
つまり、アプローチ1で一生懸命入力した計算式(C2*B3-C3*B2)は、MDETERM(A2:B3) と書くだけで求められるのです！
・CHOOSE({1,2}, …): ここがテクニック！本来の表の一部を、合計金額（C列）と入れ替えた仮想的な表をメモリ上に作っています。
これで行列式を計算し、割ることで答えを出しています（これもクラメルの公式そのものです）。
3. MMULT & MINVERSE – 行列計算が輝く瞬間
考えかた
ここからは、Excelの「行列計算」の真骨頂です。
最もスマートで数学的に美しい解法です。
数式
C5セル（スピルします）：=MMULT(MINVERSE(A2:B3),C2:C3)
なぜこれで解けるのでしょう？
ロジックを解説します。
解説
今回の問題は、行列を使って以下のように書けます。
これをシンプルに 
と書きます。
（
は個数、
は単価、
は金額）
私たちが知りたいのは （単価）です。
普通の方程式 
なら、両辺を3で割れば（または 
を掛ければ）答えが出ますよね？
行列の世界には「割り算」はありませんが、代わりに「逆行列（
）」というものを掛けます。
これは数字で言う「逆数（）」のような存在です。
つまり、「個数の表（）の逆行列」に「金額（）」を掛ければ、一発で単価（）が出るのです！
1. MINVERSE(A2:B3): 個数の範囲（）の「逆行列」を計算します。
2. MMULT(逆行列, C2:C3): その逆行列と、金額の範囲（）を「行列積（MMULT）」で掛け合わせます。
4. LINEST関数 – 統計関数の応用
考えかた
LINESTは、本来は「回帰分析（データの傾向線を引くなど）」に使われる統計関数です。
「このデータに最もよく当てはまる直線の式を見つけて！」という時に使います。
数式
C5セル（スピルします）：=INDEX(LINEST(C2:C3,A2:B3,0),{2;1})
解説
なぜLINESTで解けるの？
今回の問題は、「合計金額 ＝ りんごの単価 × りんご個数 ＋ みかんの単価 × みかん個数 ＋ 0」という式で表せます。
これは統計学で言う「重回帰分析」の式 
と全く同じ形なんです！
この記事の目的は統計学の講義ではないので、詳しい理論の解説は省略します。
「そういう便利な関数があるんだ」くらいの感覚でOKです！
LINEST関数に「金額（y）」と「個数（x）」を渡せば、それにぴったり合う「単価（係数m）」を計算してくれます。
・LINEST(既知のy, 既知のx, 定数, 補正): 第3引数を0（FALSE）にすることで、切片bを0に固定して計算させています。
・INDEX(…, {2;1}): LINEST関数は、係数を「後ろから順（みかん→りんご）」に返すという癖があります。
そのため、INDEX関数で順番を {2;1} と入れ替えて、りんご→みかんの順に直しています。
「傾向を知るための関数」で「正解」を出す。なんだか裏技っぽくてワクワクしませんか？
5. シミュレーション（総当たり）攻撃！
考えかた
最後は、数学なんて知ったことか！という力技です。
「りんごが0個なら…1個なら…2個なら…」とすべての可能性を計算し、条件に合うものを見つけ出します。
PCの計算力を活かした「全探索」アプローチです。
数式
C5セル（スピルします）：=LET(xMax,MIN(QUOTIENT(C2,A2),QUOTIENT(C3,A3)),x,SEQUENCE(,xMax+1,0,1),y,(C2-A2*x)/B2,mask,(MOD(C2-A2*x,B2)=0)*(A3*x+B3*y=C3)*(y>=0),FILTER(VSTACK(x,y),mask))
ものすごく長いですが、やっていることは単純です。
解説
1. xMax: 「りんごを最大何個買えるか？」を計算します。（予算÷単価のイメージ）
=MIN(QUOTIENT(C2,A2),QUOTIENT(C3,A3))
2. x: りんごの価格としてあり得る「0円から最大価格まで」のリストを作ります。
=SEQUENCE(,xMax+1,0,1)
3. y: 「もしりんごがx円なら、みかんは何円になるか？」を逆算します。
=(C2-A2*x)/B2
4. mask (条件判定): ここでフィルターを作ります。
=(MOD(C2-A2*x,B2)=0)*(A3*x+B3*y=C3)*(y>=0)
(MOD...=0): みかんの価格が「整数」になっているか？（割り切れるか）(A3*x+B3*y=C3): 2つ目の条件式（5個と3個で1240円）も満たしているか？(y>=0): みかんの価格がマイナスになっていないか？
5. FILTER: 全ての条件を満たす「りんご(x)」と「みかん(y)」のペアだけを抜き出します。
=FILTER(VSTACK(x,y),mask)
【注意点】
この方法は「単価は0以上の整数である」という前提で総当たりしています。
もし答えがマイナスになる場合（数学的にはあり得ます）や、整数にならない場合、この数式は答えを見つけられず #CALC! エラーになります。
まとめ：Excelは「最強の電卓」だ
答えは「りんご：200円、みかん：80円」でしたね！
普通なら紙とペンで計算する問題も、Excelにかかれば MMULT 一発で解けたり、あるいは LET と SEQUENCE で力技で解けたりと、様々なアプローチが可能です。
この考え方は、ビジネスでの「最適な組み合わせ探し」や「コスト分析」にも応用できます。
「あ、これ連立方程式だな」と思ったら、ぜひExcelを開いて、行列計算やシミュレーションを試してみてくださいね！
